Chuyên đề 2 – Những hằng đẳng thức đáng nhớ – Lý thuyết – Bài tập

CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:

HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TỔNG HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TÍCH
* Bình phương của tổng

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

* Bình phương của hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

* Lập phương của tổng

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

* Lập phương của hiệu

(A –  B)3 = A3 –  3A2B + 3AB2 –  B3

* Hiệu hai bình phương

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

* Tổng hai lập phương

A3 + B3  = (A + B)(A2 – AB + B2)

* Hiệu hai lập phương

A3 –  B3  = (A –  B)(A2 + AB + B2)

 

 

*Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC

(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC

(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC

(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB – AC – BC)

(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C)

A4 +  B4  = (A + B)(A3 – A2B + AB2  – B3)

A4 –  B4  =  (A – B)(A3 + A2B + AB2  + B3)

          An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B +  An-3 B2 – An-4 B3 +…….. +(-1)n-1n-1)

          An – Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B +  An-3 B2 + An-4 B3 +…….. + B n-1)

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ 2

HẲNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

 DẠNG 1: Khai triển biểu thức. Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.

I/ Phương pháp.

– Nhận diện số A và số B trong hẳng đẳng thức.

– Viết khai triển theo đúng công thức của hằng đẳng thức đã học.

II/ Bài tập vận dụng.

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.

1) (5x + 3yz)2       2) (y2x – 3ab)2      3) (x2 – 6z)(x2 + 6z)        4) (2x – 3)3

5) (a + 2b)3           6) (5x + 2y)2         7) (-3x + 2)2      

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.

1)          2)          3) (x – 2y + z)2               4) (2x – y + 3)2

Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:

1) x2 + 2x + 1       2)  x2 + 5x +    3) 16x2 – 8x + 1             4) 4x2 + 12xy + 9y2

5) x2 + x +         6) x2 – 3x +        7)  + x + 1               8)  – x +

Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu:

  1. a) x3 + 3x2 + 3x + 1 b) 27y3 – 9y2 + y –
  2. c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 d) (x + y)3(x – y)3

Bài 5: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

  1. a) b)                c)                      d)

Bài 7 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

  1. a) b)
  2. c) d)

Bài 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

  1. a) b)
  2. c)      d)
  3. e) g)

Bài 9 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

I/ Phương pháp.

          – Khai triển các hằng đẳng thức có trong biểu thức.

          – Rút gọn các đơn thức đồng dạng.

II/ Bài tập vận dụng.

Bài 1: Rút gọn biểu thức:

  1. a) A = (x + y)2 – (x – y)2
  2. b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
  3. c) C = (x + y)3 – (x – y)3 – 2y3

Bài 2: Rút gọn biểu thức

  1. a) E = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
  2. b) F = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1)
  3. c) G = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
  4. d) H = (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2

Bài 3: Rút gọn biểu thức.

  1. a) A = (x + y)2 – (x – y)2
  2. b) B = (a + b)3 + (a – b)3 – 2a3
  3. c) C = 98.28 – (184 – 1)(184 + 1)

DẠNG 3: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * trong đẳng thức.

I/ Phương pháp.

          – Quan sát 2 vế cửa đẳng thức, xem đẳng thức thuộc hằng đẳng thức nào đã học.

          – Từ vị trí số hạng đã biết trong hằng đẳng thức, xác định số hạng cần điền vào dấu *

II/ Bài tập vận dụng.

1) 8x3 +  * + * + 27y3 = (* + *)3

2) 8x3 + 12x2y + * +  * = (* + *)3

3) x3 – * + * – * = (* – 2y)3

4) (* – 2)(3x + *) = 9x2 – 4

5) 27x3 – 1 = (3x – *)(* + 3x + 1)

6) * + 1 = (3x + 1)(9x2 – * + 1)

7) (2x + 1)2 = * + 4x + *

8) (* – 1)2 = 4x2 – * + 1

9) 9 – * = (3 – 4x)(3 + 4x)

10) (4x2 – 3) = (2x – *)(* + )

DẠNG 4: Tính nhanh:

I/ Phương pháp.

          – Đưa tổng, hiệu, tích các số về dạng hằng đẳng thức

– Thực hiện phép tính trong hằng đẳng thức.

II/ Bài tập vận dụng.

Bài 1: Tính nhanh

1) 1532 + 94 .153 + 472

2) 1262 – 152.126 + 5776

3) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1)

4) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1

Bài 2: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh

  1. 252 – 152 b. 2055 –  952                  c. 362 –  142
  2. 9502 – 8502          e.

Bài 3. Tính:

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

DẠNG  5: Chứng minh biểu thức dương hoặc âm với mọi giá trị của biến x.

I/ Phương pháp.

          – Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức, khi đó nếu :

          + Biểu thức A có dạng (a ± b)2 thì A ≥ 0

          + Biểu thức A có dạng (a ± b)2 + c (c là hằng số dương) thì A > 0

          + Biểu thức A có dạng  – (a ± b)2 thì A ≤ 0

          + Biểu thức A có dạng – (a ± b)2 – c (c là hằng số dương) thì A < 0

II/ Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng

  1. a) – x2 + 4x – 5 < 0 với mọi x
  2. b) x4 + 3x2 + 3 > 0 với mọi x
  3. c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x

Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến:

  1. a) A = x2 – x + 1
  2. b) B = (x – 2)(x – 4) + 3
  3. c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5

DẠNG 6: Chứng minh đẳng thức.

I/ Phương pháp.

    – Dùng hằng đẳng thức biến đổi một vế của đẳng thức sao cho bằng vế còn lại

II/ Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Bài 2: Chứng minh:

  1. a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
  2. b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau:

  1. a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2
  2. b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2
  3. c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2

d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)

DẠNG 7: Tìm x trong phương trình f(x) = 0.

I/ Phương pháp

Cách 1:

          – Đưa f(x) về một trong các dạng hằng đẳng thức sau: A2 – B2  ; A3 + B3  ; A3 –  B3  ; A4 –  B4  

          – Khai triển các hằng đẳng thức trên ta được: f(x) = 0

                   H(x) và K(x) là các đa thức đơn giản chứa x.

          Cách 2:

          – Nếu f(x) không đưa được về dạng các hằng đẳng thức như Cách 1 thì ta khai triển f(x) thành tổng các đơn thức

– Rút gọn các đơn thức đồng dạng sao cho chỉ còn lại a.x = c

=>

Chú ý: Nếu f(x) =  => f(x) = 0 ó

II/ Bài tập vận dụng.

Bài 1 : Tìm x.

  1. a) 9x2 – 6x – 3 = 0
  2. b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0
  3. c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3

Hướng dẫn

  1. a) 9x2 – 6x – 3 = 0

ó 9x2 – 2.3x.1 +  1 – 4 = 0

ó (3x – 1)2 – 4 = 0        (Hiệu của hai bình phương)

ó (3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0

ó (3x + 1)(3x – 3) =0

ó

  1. b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0

ó x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0

ó (x + 3)3 – 8 = 0

ó (x + 3)3 – 23 = 0        (Hiệu của hai lập phương)

ó (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0

ó (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0

ó (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0

ó (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0

ó (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0

ó x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x.

ó x = -1

  1. c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3

ó x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0

ó x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0    (Thu gọn đồng dạng)

ó – 25x = 11

ó x = –

Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0

Hướng dẫn

x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0

ó (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0

ó (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 (Tổng các bình phương)

Bài 3: Giải các phương trình sau:

  1. a) x2 – 4x + 4 = 25
  2. b) (5 – 2x)2 – 16 = 0
  3. c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15

Bài 4. Tìm x, biết:

  1. a) (2x + 1)2 – 4(x + 2)2 = 9
  2. b) (x + 3)2 – (x – 4)( x + 8) = 1
  3. c) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x – 3) = 36

d)(x – 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1

  1. e) (x + 1)3 – (x – 1)3 – 6(x – 1)2 = -19.

DẠNG 8: Dùng hằng đẳng thức so sánh hai số.

I/ Phương pháp.

          – Vận dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B)

          – Biến đổi số phức tạp về dạng: kN – 1 => Khi đó số kN – 1 < kN

II/ Bài tập vận dụng.

Bài 1: So sánh hai số sau:

  1. a) 2003.2005 và 20042
  2. b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)

Hướng dẫn

  1. a) 2003.2005 và 20042

Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 < 20042

  1. b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)

Ta có: 716 – 1 = (78)2 – 1 = (78 + 1)(78 – 1)

= (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1)

= (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1)

= (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8

Bài 2: So sánh hai số A và B biết :

 A = 20162 và B = 2015 . 2017

Bài 3: So sánh hai số M và N biết :

M = 216 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1)

Hướng dẫn

Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1)

= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (28 + 1)

= (24 – 1) (24 + 1) (28 + 1)

= (28 – 1)(28 + 1)

= 216 – 1

Suy ra : N = 216 – 1 < 216

Vậy : N < M

Bài 4: So sánh hai số M và N biết :

M = 22016 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) …(21008 + 1)

Hướng dẫn

Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) …(21008 + 1)

= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) …(21008 + 1)

= (24 – 1) (24 + 1) …(21008 + 1)

= (28 – 1)…(21008 + 1)

= 22016 – 1

Suy ra : N = 22016 – 1 < 22016 . Mà: M = 22016  . Vậy : N < M

Bài 5: So sánh hai số P và Q biết :

P = 4(32 + 1)(34 + 1) …(364 + 1)  và Q = 3218 – 1

Hướng dẫn

Ta có : P = 4.(32 + 1).(34 + 1) …(364 + 1) = .(32 – 1). (32 + 1).(34 + 1) …(364 + 1)

= .(34 – 1).(34 + 1) …(364 + 1) = .(364 – 1).(364 + 1)

= .(3128 – 1)

Mà  < 1 => .(3128 – 1) < 3128 – 1

Vậy P < Q.

DẠNG 9: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất.

I/ Phương pháp:

          * Nếu biểu thức A ≤ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m

          => A đạt GTLN = m khi x = xo

          * Nếu biểu thức A ≥ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m

          => A đạt GTNN = m khi x = xo

          * Dùng hằng đẳng thức biến đổi A về dạng:

          – Nếu A = (kx + c)2 + d ≥ d => Amin = d ó kx + c = 0

          – Nếu A = – (kx + c)2 + d ≤ d => Amax  = d ó kx + c = 0        

II/ Bài tập vận dụng.

Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = – 2x2 + 8x – 15

Hướng dẫn

a/  A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x – 2)2 + 3 > 3

Dấu  “ =” xảy ra  Û x – 2 = 0 Û x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.

b/  B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 >  – 16

Dấu  “ =” xảy ra  Û x – 4 = 0 Û x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16  khi x = 4.

c/  C = – 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x – 2)2 – 7 < – 7

Dấu  “ =” xảy ra  Û x – 2 = 0 Û x = 2

Vậy giá trị  lớn nhất của biểu thức A là – 7 khi x = 2.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

  1. a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3
  2. b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49

Hướng dẫn

  1. a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3

Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥  3

Hay GTNN của M bằng 3

Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0  x – 2 = 0  x = 2

  1. b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49

= (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49

= (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49

= (x2 – 4x – 5)2  – 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72

= (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2

Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0

Hay GTNN của N bằng 0

Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0

x = 6 ; hoặc x = -2

  1. c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2

Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2

Hay GTNN của P bằng 2

Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0

x = 3 và y = 1

Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức  A = (x2 + 1)2 + 4 nếu có.

Bài 4: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức B = (x – y)2 + 2  nếu có.

Bài  5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

  1. a) A = x2 – 4x + 9
  2. b) B = x2 – x + 1
  3. c) C = 2x2 – 6x

Hướng dẫn

  1. a) A = x2 – 4x + 9

Ta có : A = x2 – 4x + 4 +  5 = (x – 2)2 + 5

Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5

Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0

x – 2 = 0  x = 2

  1. b) B = x2 – x + 1

Ta có: B = x2 – 2.x +  = (x – )2 +

Vậy GTNN của B bằng  , giá trị này đạt được khi x =

  1. c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2.x + ] = 2(x – )2

Vậy GTNN của C bằng  –  , giá trị này đạt được khi x =

Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức:

  1. a) M = 4x – x2 + 3
  2. b) N = x – x2
  3. c) P = 2x – 2x2 – 5

Hướng dẫn

  1. a) M = 4x – x2 + 3 = – x2 + 4x – 4 + 7 = 7 – (x2 – 4x + 4) = 7 – (x – 2)2

Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên  – (x – 2)2 ≤ 0 .

Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2

  1. b) N = x – x2 = – x2 + 2.x – = 2

Vậy GTLN của N bằng , giá trị này đạt được khi x =

  1. c) P = 2x – 2x2 – 5 = 2( – x2 + x – 5) = 2[( – x2 + 2. x – ) – ] =  –  – (x – )2 ≤ –

Vậy GTLN của biểu thức P bằng –   , giá trị này đạt được khi x =

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *